Question

已知M，N为平面区域

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0

内的两个动点，向量

a

=(1，3)则

MN

•

a

的最大值是

40

．

Answer 1

分析：根据向量数量积的几何意义，得当向量

MN

与

a

方向相同且

MN

的模最大时，

MN

•

a

最大，画出平面区域

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0

表示的图形，数形结合不难得出

MN

•

a

的最大值，从而得到本题的答案．

解答：解：作出不等式组 

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0

对应的平面区域，
如图中阴影部分三角形，
由

3x-y-6=0 x=0

得M′（0，-6），
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

得N′（4，6）．
结合图形得，当

MN

=（4，12）时，

MN

•

a

的最大值为：（4，12）•（1，3）=4+12×3=40，
故答案为：40．

点评：本题给出平面区域内的两个点N、M，求数量积的最大值，着重考查了平面向量数量积的坐标运算和简单的线性规划等知识，属于基础题．