Question

（2011•洛阳二模）设函数f（x）的定义域为R，且对任意的x∈R都有f（-x）=f（x），f（x-2）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1．若在区间[-2，10]上关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有五个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A．（1，2）
• B．（2，+∞）
• C．（1，

  3	12

  ）
• D．（2，

  3	12

  ）

Answer 1

分析：由已知可得函数为偶函数且周期为4，另外问题可化为两函数图象的交点个数问题，作出图象可得不等式，解之即可．

解答：解：由对任意的x∈R都有f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数，
而f（x-4）=f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即函数f（x）为周期函数且周期为4，
又当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1∈[0，3]，
在区间[-2，10]上关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有五个不同的实数根，
等价于函数f（x）与函数y=log_a（x+2）（a＞1）有五个不同的交点，
在同一个坐标系中作出函数的图象，

由题意可得只需

loga(6+2)＜3 loga(10+2)＞3

，即

loga8＜3 loga12＞3

，故8＜a³＜12，
解得2＜a＜

3	12

．
故选D

点评：本题考查方程根的个数问题，转化为函数图象交点的个数，用数形结合的方式解决问题是关键，属中档题．