Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

    (Ⅰ)求四棱锥P―ABCD的体积；

    (Ⅱ)若E为BC边的中点，能否在棱上PC找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，

    ∴△PAD，△ABD，△BCD是全等的正三角形．

    取AD中点G，连结PG，BG，则PG⊥AD．

    ∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，

    即PG为四棱锥P―ABCD的高．

    ∵AD=A=．∴PG=．

又S_□ABCD=AB?AD?sin∠DAB=，

∴_□．

(Ⅱ)取PC中点F，则F即为所找的点． 

连接DE、EF、DF(如图)，

∵G、E分别是AD、BC的中点，∴GB//DE，

∵E、F分别是BC、PC的中点，

∴EF//PB．

∴AD⊥PG，AD⊥BG，BG∩PG=G，

∴AD⊥平面PGB，

  ∴AD⊥PB，∴AD⊥EF．

    又BG//DE，∴AD⊥DE，DE∩EF=E，

    ∴AD⊥平面DEF，AD平面ABCD，

∴平面DEF⊥平面ABCD．