Question

已知抛物线C：x²=2py（p为正常数）的焦点为F，过F做一直线l交C于P，Q两点，点O为坐标原点．
（1）当P，Q两点关于y轴对称时，|PQ|=4，求抛物线的方程；
（2）若△POQ的面积记为S，求

S2

|PQ|

的值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义可知2p=|PQ|进而求得p，则抛物线方程可得．
（2）根据（1）中抛物线方程求得焦点坐标，设直线l的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而根据弦长公式求得|PQ|，根据点到直线的距离求得原点到直线l的距离，进而可求得三角形POQ的面积，最后代入

S2

|PQ|

即可求得答案．

解答：解（1）由已知|PQ|=4，根据抛物线的对称性可知所以2p=|PQ|=4，所以抛物线方程x²=4y
（2）显然直线l斜率存在，F(0，

p

2

)设l：y=kx+

p

2

代入C：x²=2py得x²-2pkx-p²=0，x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
求得弦长|PQ|=2p（1+k²），原点到直线l距离

p

2 1+k2

，
S2=

1

4

•(

p

2 1+k2

)2|PQ|2，所以

S2

|PQ|

=

p3

8

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了直线与抛物线的关系以及抛物线焦点弦的问题，平面几何的知识．综合性较强．