Question

已知函数f(x)=(

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3

)x．
（1）若y=f（x）和y=f^-1（x）到为反函数，求g（x）=f^-1（x²+2x-3）的单调区间；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2f（x）+3的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）和y=f^-1（x）到为反函数可求得g（x），先求出g（x）的定义域，然后利用复合函数单调性的判断方法可求得g（x）的单调区间；
（2）令t=(

1

3

)x，由x∈[-1，1]可得t∈[

1

3

，3]，则y=[f（x）]²-2f（x）+3可化为关于t的二次函数，借助二次函数的性质可求得答案；

解答：解：（1）∵y=f（x）和y=f^-1（x）到为反函数，
∴y=f^-1（x）=log

1

3

x，
∴g（x）=f^-1（x²+2x-3）=log

1

3

(x2+2x-3)，
由x²+2x-3＞0，得x＜-3或x＞1，∴g（x）的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞），
∵y=log

1

3

t递减，且t=x²+2x-3在（-∞，-3）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴g（x）log

1

3

(x2+2x-3)在（-∞，-3）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（x）的增区间为（-∞，-3），减区间为（1，+∞）；
（2）令t=(

1

3

)x，∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

3

，3]，
∴y=[f（x）]²-2f（x）+3=t²-2t+3=（t-1）²+2，
当t=3时，y取得最大值为6，当t=1时，y取得最小值为2．

点评：本题考查复合函数单调区间的求解、二次函数在闭区间上的最值及反函数，注意复合函数单调性的判断方法：“同增异减”．