Question

已知函数f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）在（-∞，0）上的单调性即可求得值域；
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3?-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x，问题转化为求2•2^x-(

1

2

)x的最小值及-4•2^x-(

1

2

)x的最大值问题，根据其单调性即可求得最值．

解答：解：（1）a=1时，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，
∵f（x）在（-∞，0）上递减，∴f（x）＞f（0），
∴f（x）∈（3，+∞）．
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3?-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x
?-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x，
∵2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上单调递增，
∴2•2^x-(

1

2

)x≥1；
令g（x）=?-4•2^x-(

1

2

)x（x≥0），g′（x）=-4ln2•2^x-(

1

2

)xln2=

ln2(1-4•2x)

2x

＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（0）=-5．
由-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x恒成立，得-5≤a≤1．
所以实数a的取值范围为[-5，1]．

点评：本题为指数函数的综合问题，考查学生对问题的分析解决能力，具有一定综合性．