Question

已知函数f(x)=

1+ 2 cos(2x- π 4 )

sin( π 2 -x)

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

4

，

π

2

)上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因sin(

π

2

-x)≠0，得角（

π

2

-x）的终边不在x轴上，即

π

2

-x≠kπ+，k是整数．
（Ⅱ）化简函数解析式到关于某个角的三角函数的形式，再利用函数在此区间上的单调性求出此函数的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意sin(

π

2

-x)≠0，∴

π

2

-x≠kπ，k∈Z，∴x≠

π

2

+kπ，k∈Z，
故所求定义域为{x|x≠

π

2

+kπ，k∈Z}  （4分）
（Ⅱ）f(x)=

1+ 2 cos(2x- π 4 )

sin( π 2 -x)

=

1+cos2x+sin2x

cosx

=

2cos2x+2sinxcosx

cosx

=2cosx+2sinx=2

2

sin(x+

π

4

)（9分）
∵-

π

4

≤x＜

π

2

，∴0≤x+

π

4

＜

3π

4

，（10分）
∴当x+

π

4

=0即x=-

π

4

时，f（x）_min=0；
当x+

π

4

=

π

2

即x=

π

4

时，f(x)max=2

2

．（12分）

点评：本题考查利用诱导公式化简三角函数式、求三角函数的定义域、值域．