题目内容

已知函数f（x）=kx， $数学公式$
（1）求函数 $数学公式$ 的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证： $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ （x＞0），∴ $\text{[math]}$ ，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，
故函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间为（0，e）．
（2）由 $\text{[math]}$ ，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．
又 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．
当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：

x	（0， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，+∞）
h'（x）	+	0	-
h（x）	↗	$\text{[math]}$	↘

由表知当 $\text{[math]}$ 时，函数h（x）有最大值，且最大值为 $\text{[math]}$ ，因此k≥ $\text{[math]}$ ．
（3）由 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ （x≥2），
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
又∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ =
1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ＜1，
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由g'（x）＞0，解得x的范围，就是函数的增区间．
（2）问题转化为k大于等于h（x）的最大值，利用导数求得函数h（x）有最大值，且最大值为 $\text{[math]}$ ，得到 k≥ $\text{[math]}$ ．
（3）先判断 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ （x≥2），得 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
用放缩法证明 $\text{[math]}$ ＜1，即得要证的不等式．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数极值，用放缩法证明不等式，放缩不等式是解题的难点．