Question

已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f(x)＝bx²＋cx＋d，g(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，方程f(x)＝0有实根，且f(x)＝0的实数根都是g(f(x))＝0的根，反之，g(f(x))＝0的实数根都是f(x)＝0的根，

(1)求d的值；

(2)若a＝0，求c的取值范围；

(3)若a＝1，f(1)＝0，求c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设x0是f(x)＝0的根，那么f(x0)＝0，则x0是g(f(x))＝0的根，则即g(0)＝0，所以d＝0． 　　(2)因为，所以，则 　　＝＝0的根也是的根． 　　(a)若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以， 　　(b)若，当时，的根为0，而的根也是0，当时， 　　的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而 　　所以当时，；当时，． 　　(3)，所以，即的根为0和1， 　　所以＝0必无实数根， 　　(a)当时，＝＝，即函数在，恒成立，又，所以，即所以； 　　(b)当时，＝＝，即函数在，恒成立，又，所以， 　　，而，所以，所以不可能小于0， 　　(c)则这时的根为一切实数，而，所以符合要求． 　　所以