Question

已知等比数列的公比q＞0，a₁=，且a₁是3a₂与2a₃的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当n为何值时，S_n取得最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可求得等比数列{a_n}的公比q，利用其通项公式即可求得a_n；
（2）由（1）知a_n=，于是可求得b_n=-n，易证数列{b_n}是以为首项，-1为公差的等差数列，从而可求其前n项和S_n．
解答：解：（1）∵等比数列{a_n}的公比q＞0，a₁是3a₂与2a₃的等差中项，
∴3a₁q+2a₁q²=2a₁，又a₁=，
∴q=或q=-2（舍去），
∴a_n=；
（2）∵b_n=+log₂a_n=+log₂=-n，
∴b_n+1=-（n+1），
∴b_n+1-b_n=-1，又b₁=，
∴数列{b_n}是以为首项，-1为公差的等差数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=n+×（-1）
=-n²+10n．
=-（n-10）²+50，
∴当n=10时，S₁₀取得最大值50．
点评：本题考查数列求和，着重考查等比数列与等差数列的通项公式，考查等差数列的公式法求和，属于中档题．