Question

（本小题满分14分）数列中，若存在常数，均有，称数列是有界数列；把叫数列的前项邻差和，数列叫数列的邻差和数列。

（1）若数列满足，，均有恒成立，试证明：是有界数列；

（2）试判断公比为的正项等比数列的邻差和数列是否为有界数列，证明你的结论；

（3）已知数列、的邻差和与均为有界数列，试证明数列的邻差和数列也是有界数列。

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（1）式子可化为

                ………………………   1分

或                   ………………………   2分

或                     ………………………   3分

综上可知，从而，故是有界数列。  ………………   4分

（2）由依题，，于是

      

当时，显然，故为有界数列；      ………………………   5分

当时，

=

当时，，故为有界数列；   ……………   7分

当时，常数，，当时，有，此时不是有界数列；              ………………………   8分

综上可知，当时，为有界数列，当时，不是有界数列。

………………………   9分

（III）若数列 {}是有界数列，则存在正数，对任意的有

   ，    ………………………   10分

注意到

   ………………………   11分

同理：           

记，

  …………………   12分

因此

        

故数列的邻差和数列也是有界数列。         ………………………   14分