题目内容

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.

(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；

(2)若对x1，x2∈R，且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)．

证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.

又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.

又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，

∴函数f(x)有两个零点．

(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，

则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]

g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]，

∴g(x1)g(x2)＝[f(x1)－f(x2)]·[f(x2)－f(x1)]

＝－[f(x1)－f(x2)]2.

∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)<0.

∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．

练习册系列答案
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