Question

已知函数f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在[0，

π

2

]上的最值及取最值时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x-

π

6

)+2，由此求得它的周期．
（2）根据函数f（x）的解析式为 2sin(2x-

π

6

)+2，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的范围，可得函数的增区间．
（3）根据x的范围，以及正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．

解答：解：（1）因为f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+2

3

sinxcosx+1…（1分）
=

3

sin2x-cos2x+2=2sin(2x-

π

6

)+2，…（3分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…..（4分）
（2）因为f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，…（6分）
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，…..（7分）
所以f（x）的单调增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．…（8分）
（3）因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．…..…（9分）
所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．…..…..…．（10分）
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2∈[1，4]．…..…（12分）
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，f（x）取得最小值1．…..…（13分）
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值4．…..…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．