题目内容

（2010•湖北模拟）已知数列|an|满足：an=n+1+
8
7
an+1，且存在大于1的整数k使ak=0，m=1+
8
7
a1．
（1）用k表示m（化成最简形式）；
（2）若m是正整数，求k与m的值；
（3）当k大于7时，试比较7（m-49）与8（k2-k-42）的大小．
分析：（1）利用数列|an|满足：an=n+1+
8
7
an+1，且存在大于1的整数k使ak=0，m=1+
8
7
a1．逐步迭代可得m=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+…+k×(
8
7
)k-1，再写一式，两式相减，可求；
（2）由k＞1，m是正整数，可知|k-7|＜7n-1，故有k-7=0，所以可求k=7，m=49；
（3）根据（1），表示出7（m-49），进而利用二项式定理可证．
解答：解：（1）m=1+
8
7
a1=1+
8
7
(2+
8
7
a2）
=1+2×
8
7
+(
8
7
)2a2
=1+2×
8
7
+(
8
7
)2[3+
8
7
a3]
=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+…+k×(
8
7
)k-1               ①…（2分）
∴
8
7
m=1×
8
7
+2×(
8
7
)2+3×(
8
7
)3+…+k×(
8
7
)k   ②
由①-②得-
1
7
m=1+1×
8
7
+(
8
7
)2+…+(
8
7
)k-1-k×(
8
7
)k…（4分）
∴-
1
7
m=
(
8
7
)k-1
8
7
-1
-k×(
8
7
)k
∴m=49+（k-7）×
8k
7k-1
…（6分）
（2）由k＞1知|k-7|＜7n-1
又∵m∈N*故此有k-7=0
故k=7，m=49…（9分）
（3）∵m=49+（k-7）×
1
7k-1

∴7（m-49）=56（k-7）•(1+
1
7
)k-1
=56（k-7）[1+Ck-11•
1
7
+
C
2
k-1
•
1
72
+…+
C
k-1
k-1
•
1
7k-1
]＞56(k-7)[1+
C
1
k-1
+
1
7

＞8（k-7）（k+6）
=8（k2-k-42）
∴7（m-49）＞8（k2-k-42）…（14分）
点评：本题以数列为依托，综合考查数列与不等式，借助于错位相减法考查数列求和，考查利用二项式定理比较大小．
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