Question

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0)，若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证：f(x+)为偶函数.

Answer 1

证明略

解析:

方法一  （混合型分析法）

要证f(x+)为偶函数，只需证明其对称轴为x=0.

即只需证--=0.

只需证a=-b.（中途结果）

由已知，抛物线f(x+1)的对称轴x=-1与抛物线的对称轴x=关于y轴对称.

∴-1=-.

于是得a=-b（中途结果）.

∴f(x+)为偶函数.

方法二  （混合型分析法)

记F（x）=f(x+)，

欲证F（x）为偶函数，只需证F（-x）=F（x），

即只需证f(-x+)=f(x+)，（中途结果）.

由已知，函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的，

∴f（-x）=f（x+1）.

于是有f (-x+)=f [-(x-)]

=f [(x-)+1]=f (x+)（中途结果）.

∴f(x+)为偶函数.