Question

在△ABC中，a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，且2cos（A+B）=-1
（1）求角C的度数；
（2）求c；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的内角和及诱导公式，即可求得结论；
（2）利用韦达定理及余弦定理，可求c的值；
（3）利用三角形的面积公式，可求面积．

解答：解：（1）∵2cos（A+B）=-1，A+B+C=180°，
∴2cos（180°-C）=-1，∴cos（180°-C）=-

1

2

．
∴cosC=

1

2

，
∵0°＜C＜180°，∴C=60°；
（2）∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，
∴a+b=2

3

，ab=2
由余弦定理可知cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

8-c2

4

=

1

2

，∴c=

6

；
（3）S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查三角函数的诱导公式，方程的根与系数的关系，余弦定理，三角形的面积公式的综合运用，解决此类问题，不但要熟练掌握基本公式，基本运算，还要具备综合运用知识的推理的能力．