Question

数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求最小的自然数n，使a_n≥2013．

Answer 1

（1）a₁=3，a₂=3+c，a₃=3+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴（3+c）²=3（3+3c），
解得c=0或c=3．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=3．
（ 2）当n≥2时，由a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…a_n-a_n-1=（n-1）c，
得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=3，c=3，∴an=3+

3

2

n(n-1)=

3

2

(n2-n+2)(n=2，3，…)．
当n=1时，上式也成立，
∴an=

3

2

(n2-n+2)(n∈N*)．
（3）由a_n≥2013得

3

2

(n2-n+2)≥2013，即n²-n-1340≥0，
∵n∈N^*，∴n≥

1+4 335

2

＞

1+4×18

2

=36

1

2

，
令n=37，得a₃₇=2001＜2013，令n=38得a₃₈=2112＞2013，
∴使a_n≥2013成立的最小自然数n=38．