Question

已知抛物线C：x²=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（　　）条件

• A、充要
• B、充分不必要
• C、必要不充分
• D、既不充分也不必要

Answer 1

分析：根据抛物线方程设出A，B的坐标，把A，B点代入抛物线方程，对函数求导，进而分别表示出直线PA，PB的斜率，利用点斜式表示出两直线的方程，联立求得交点P的坐标，代入直线l的方程，求得

x1x2

4

代入两直线的斜率的乘积中求得结果为-1进而可推断出PA⊥PB；判断出条件的充分性；同时根据PA⊥PB推断出

x1x2

4

=-1，进而p在l上，判断出条件的必要性，最后综合可得答案．

解答：解：设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，由导数不难知道直线PA，PB的斜率分别为kPA=

1

2

x1，kPB=

1

2

x2．进一步得PA：y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

.①PB：y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

．②，由联立①②可得点P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，
（1）因为P在l上，所以

x1x2

4

=-1，所以kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，所以PA⊥PB；∴甲是乙的充分条件
（2）若PA⊥PB，kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，即y_p=-1，从而点P在l上．∴甲是乙的必要条件，
故选A

点评：本题主要考查了抛物线的应用以及充分条件，必要条件和充要条件的判定．考查了学生推理能力和基础知识的综合运用．