Question

【题目】已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．对a分类讨论，即可得出单调性．
（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x＞-1时，a令g（x）=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解法一：（1）

①当时，

		-1
	-	0	+
	↘	极小值	↗

所以在上单调递减，在单调递增.

②当时，的根为或.

若，即，

		-1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，上单调递增，在上单调递减.

若，即，

在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.

若，即，

				-1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，上单调递增，在上单调递减.

综上：

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

自时，在上单调递增，无减区间；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

（2）因为，所以.

当时，恒成立.

当时，.

令，，

设，

因为在上恒成立，

即在上单调递增.

又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

则，所以.

综上，的取值范围为.

解法二：（1）同解法一；

（2）令，

所以，

当时，，则在上单调递增，

所以，满足题意.

当时，

令，

因为，即在上单调递增.

又因为，，

所以在上有唯一的解，记为，

	-	0	+
	↘	极小值	↗

，满足题意.

当时，，不满足题意.

综上，的取值范围为.