Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当k为偶数时，正项数列{a_n}满足：．证明：数列中任意不同三项不能构成等差数列；
（2）当k为奇数时，证明：当x＞0时，对任意正整数n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer 1

证明：（1）当k为偶数时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-=，f′（a_n）=
由已知，得出2（-1）=-3，
∴+1=2（+1），数列{+1}是以2为公比，以=2为首项的等比数列．
∴+1=2•2^n-1=2ⁿ，=2ⁿ-1，
假设数列中存在不同三项构成等差数列，不妨设r＜s＜t，则，即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，2^s+1=2^r+2^t，2^s-r+1=1+2^t-r
又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，矛盾．故假设不成立．因此数列中任意不同三项不能构成等差数列．
（2）当k为奇数时，f（x）=x²+2lnx，f′（x）=2x+=2（），即证-2^n-1•2（）≥2ⁿ（2ⁿ-2）
即证-（）≥2ⁿ-2．
证法一：由二项式定理，即证+++…≥2ⁿ-2
设S_n=+++…，
又S_n=++…++．
两式相加，得出2S_n=++…+
≥2（）=2（2ⁿ-2）．
∴S_n^≥2ⁿ-2．
证法二：数学归纳法
当n=1时，左边=0，右边=0，不等式成立．
设当n=k（k≥1）时成立．即-（）≥2^k-2成立，
则当n=k+1时，-（）=-（）
≥[（2^k-2）+（）]-（）
=（2^k-2）++x^k-1+-（）
=（2^k-2）+x^k-1+
≥（2^k-2）•2+2
=2^k+1-2
即当n=k+1时不等式成立．
综上所述，对任意正整数n不等式成立．
分析：（1）当k为偶数时，由已知，得出2（-1）=-3，整理构造得出数列{+1}是以2为公比，以=2为首项的等比数列，求出=2ⁿ-1，假设数列中存在不同三项构成等差数列，不妨设r＜s＜t，则①，考察①是否有解，作出解答．
（2）当k为奇数时，原不等式化为-2^n-1•2（）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．可以利用二项式定理，结合倒序相加法，基本不等式进行证明，或者用数学归纳法证明．
点评：本题是函数、数列、不等式的综合．考查数列通项公式求解，不定方程解的讨论，不等式的证明方法．用到了构造转化、基本不等式、数学归纳法等知识方法．运算量较大，是容易出错的地方．