Question

已知函数f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

（ω∈R，x∈R）的最小正周期为π，且当x=

π

3

时，该函数取最大值．
（1）求f（x）解析式；
（2）作出f（x）在[0，π）范围内的大致图象．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期求出ω的值；求出函数的解析式．
（2）由x∈[0，π]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，列表作图即得所求．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

=

3

2

sin2ω x+1-

cos2ωx

2

 
=1-sin （2ωx+

π

6

）．
由于它的最小正周期为π，故

2π

ω

=π，∴ω=1．
故f（x）═1-sin（2x+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]．列表如下：

2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	13π 6
x	0	π 6	5π 12	8π 12	11π 12	π
sinx	1 2	1	0	-1	0	1 2
f（x）	1 2	0	1	2	1	1 2

如图：

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象和性质，属于中档题．