Question

下列命题中，真命题的是（　　）

• A．?x∈[0，

  π

  2

  ]，sinx+cosx≥2
• B．?x∈R，x²+x=-1
• C．?x∈（3，+∞），x²＞3x-1
• D．?x∈（

  π

  2

  ，π）tanx＞sinx

Answer 1

分析：对于A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），根据x∈[0，

π

2

]，可得sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[1，

2

]；
对于B，x=0不成立；
对于C，根据x＞3，可得x²-3x+1=（x-

3

2

）²-

5

4

=9-9+1=1＞0；
对于D，?x∈（

π

2

，π），tanx＜0，sinx＞0，故可得结论．

解答：解：对于A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴sin（x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，∴sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[1，

2

]，故A为假命题；
对于B，x=0不成立；
对于C，x²-3x+1=（x-

3

2

）²-

5

4

，∵x＞3，∴x²-3x+1=（x-

3

2

）²-

5

4

=9-9+1=1＞0，故C为真命题；
对于D，?x∈（

π

2

，π），tanx＜0，sinx＞0，故为假命题
综上，真命题为C
故选C．

点评：本题考查命题真假的判断，解题的关键是确定三角函数的值域，正确判断三角函数的符号，属于中档题．