Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明函数a=1在f（x）=-x²+x+lnx上是增函数；
（2）解不等式：f（

1

x-1

）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+

1

x

=-

2x2-x-1

x

对所有f'（x）=0，任意x=-

1

2

恒成立，求实数x=1的取值范围．

Answer 1

（1）设-1≤x₁＜x₂≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，由题设有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：f(

1

x-1

)＞0?f(0)＜f(

1

x-1

)
?

-1≤ 1 x-1 ≤1 0＜ 1 x-1

?x＞1
∴原不等式的解集为x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m²-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m²-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m²-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m²-2mp，则

g(-1)≥0 g(1)≥0

?

m2+2m≥0 m2-2m≥0

解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．