Question

11．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G为EF中点．
（1）求证：AG⊥CD：
（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形AG⊥EF．推证 AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，线面的转化 AG⊥CD．
（2）根据中点推证GF∥MN，GF=MN．四边形GFNM是平行四边形． 由直线平面平行的判定定理推证GM∥平面ABF；

解答 解：（1）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以 AG⊥EF．
又因为 EF∥AD，
所以 AG⊥AD．
因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，
所以 AG⊥平面ABCD．
因为 CD?平面ABCD，
所以 AG⊥CD．
（2）存在点M在线段AC上，且 $\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{3}$，使得：GM∥平面ABF．
证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，
因为 $\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{3}$，所以$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
因为 BC=2EF，点G是EF的中点，
所以 BC=4GF，
又因为 EF∥AD，四边形ABCD为正方形，
所以 GF∥MN，GF=MN．
所以四边形GFNM是平行四边形．
所以 GM∥FN．
又因为GM?平面ABF，FN?平面ABF，
所以 GM∥平面ABF．

点评 本题考查了空间几何体的性质，空间直线的位置关系，直线平面的平行关系，掌握好定理，转化直线的为关系判断即可，属于中档题．