Question

已知数列{a_n}满足，a₁=0．
（1）计算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）根据以上计算结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）由和a₁=0，得，，，．（4分）
（2）由以上结果猜测：（6分）
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n=1时，左边=a₁=0，右边=，等式成立．（8分）
（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立．
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式成立．
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测对于任意正整数n都成立．（12分）
分析：（1）由和a₁=0，代入计算，可求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．
点评：本题考查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，属于中档题．