Question

（2013•鹰潭一模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．若直线AB过原点，则k₁•k₂的值为

3

．

Answer 1

分析：设点，求出斜率，代入双曲线方程，两方程相减，结合双曲线的离心率，即可求得结论．

解答：解：设M（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），则k₁=

y-y1

x-x1

，k₂=

y+y1

x+x1

∴k₁•k₂=

y-y1

x-x1

•

y+y1

x+x1

=

y2-y12

x2-x12

∵

x2

a2

-

y2

b2

=1，

x12

a2

-

y12

b2

=1
∴两式相减可得

x2-x12

a2

-

y2-y12

b2

=0
∴

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

∵双曲线的离心率e=2，
∴

a2+b2

a2

=4
∴

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

=3
∴k₁•k₂=3
故答案为3．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．