Question

已知：p：函数g(x)=x+

a+1

x

，g（x）在区间（0，2]上的值不小于6；q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ，求实数a的取值范围，使p、q中有且只有一个为真命题．

Answer 1

分析：先分别求出命题p、q为真命题时的a的取值范围，进而讨论p真q假，p假q真，即可得出答案．

解答：解：若P为真时：由题意知g(x)=x+

a+1

x

≥6，x∈（0，2]
∴a+1≥x（6-x）即a≥-x²+6x-1，x∈（0，2]，
令h（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]．
而h（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8
∴x∈（0，2]时，h（x）_max=h（2）=7
∴a≥7．
若q为真时，
当△＜0时，A=φ，此时（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；
当△≥0时，A≠φ，由A∩B=φ，x₁x₂=1＞0，得

△=(a+2)2-4≥0   x1+x2=-(a+2)＜0

，解得a≥0；
故a＞-4．
①要使P真q假，则

a≥7 a≤-4

，∴a不存在；
②要使P假q真，则

a＜7 a＞-4

得-4＜a＜7．
∴当实数a的取值范围是（-4，7）时，p、q中有且只有一个为真命题．

点评：正确求出命题p、q都为真命题时的a的取值范围和利用分类讨论的方法是解题的关键．