Question

（2010•青岛一模）已知向量

m

=(

3

sin2x+t，cosx)，

n

=(1，2cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）若cos(2x-

π

3

)=

1

2

，且

m

⊥

n

，求实数t的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=3，b=1，且△ABC的面积为

3

2

，实数t=1，求边长a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合cos(2x-

π

3

)=

1

2

，即可求实数t的值；
（Ⅱ）化简函数，求出A，利用△ABC的面积为

3

2

，实数t=1，求出c的值，再利用余弦定理，即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

m

•

n

=(

3

sin2x+t)+2cos2x=2sin(2x+

π

6

)+t+1=0…（3分）
所以t=-2sin(2x+

π

6

)-1=-2cos(2x-

π

3

)-1=-2…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+t+1=2sin(2x+

π

6

)+2
由题意得f(A)=2sin(2A+

π

6

)+2=3
所以sin(2A+

π

6

)=

1

2

…（8分）
因为0＜A＜π，

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，所以2A+

π

6

=

5π

6

解得A=

π

3

因为△ABC的面积为

3

2

，所以

1

2

bcsinA=

3

2

，bc=2即c=2…（10分）
由余弦定理得a=

b2+c2-2bccosA

=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．