Question

（2013•淄博一模）已知椭圆c：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

10

）的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若

OM

⊥

ON

（O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）设点N关于x轴的对称点为N₁（N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由圆D：（x-2）²+y²=1，令y=0，解得x的值．即可得到c，得到a²=3+c²，进而即可椭圆的标准方程；
（II）把直线MN的方程与椭圆的方程联立消去x即可得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及其

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0，即可求出m的值；
（III）利用对称求得点N₁的坐标得到直线N₁M的方程及与x轴交于点P，求出|FP|，再利用根与系数的关系即可得到|y₁-y₂|，利用三角形的面积公式S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|及基本不等式即可得出其最大值．

解答：解：（I）由圆D：（x-2）²+y²=1，令y=0，解得x=3或1．
∵a＞

10

，∴取右焦点F（3，0），得a²=3+3²=12＞10．
∴椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

3

=1
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

x=my+3 x2 12 + y2 3 =1

，消去x化为（m²+4）y²+6ny-3=0，
得到y1+y2=

-6m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+6=

24

m2+4

，x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=

36-12m2

m2+4

．
∵

OM

⊥

ON

，∴

OM

•

ON

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，代人得

36-12m2-3

m2+4

=0，化为m2=

11

4

，解得m=±

11

2

，即m为定值．
（III）∵M（x₁，y₁），N₁（x₂，-y₂），
∴直线N₁M的方程为y-y1=

-y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，则x=

y1(x2-x1)

y2+y1

+x1=

y1x2+y2x1

y1y2

=

2my1y2+3(y1+y2)

y1+y2

=

-6m m2+4 - 18m m2+4

-6m m2+4

=4，
∴P（4，0），得到|FP|=1．
好∴S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|好=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

36m2 (m2+4)2 + 12 m2+4

=2

3

×

m2+1 (m2+4)2

=2

3

1 (m2+1)+ 9 m2+1 +6

≤2

3

×

1 12

=1，
当且仅当m2+1=

9

m2+1

，即m=±

2

时取等号．
故△PMN的面积存在最大值1．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及a²=3+c²、把直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立消去x即可得到关于y的一元二次方程利用根与系数的关系及其

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0及|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

、三角形的面积公式S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|及基本不等式设解题的关键．