Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，-＜Φ＜）的图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的最值．

Answer 1

解：（1）∵高点坐标为，∴正数A=1
∵函数图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为．
∴函数周期为T=4（+）=π，可得ω==2，函数表达式为f（x）=sin（2x+Φ）
∵当x=时，函数有最大值为1，
∴2•+φ=+2kπ，（k∈Z），结合-＜Φ＜，取k=0得φ=
因此，函数f（x）的表达式是f（x）=sin（2x+）．
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]
∴当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=sin=1，达到最大值1；
当x=时，函数f（x）=sin（2×+）sin=-1，达到最小值-1．
即函数f（x）在[0，π]上的最大值是f（）=1；最小值是f（）=1．
分析：（1）根据函数的最大值得到A=1，由相邻的零点与最大值的距离得到周期，进而得到ω=2，最后利用当x=时，函数有最大值为1，求出φ=，得出函数f（x）的表达式；
（2）根据x的范围得出2x+的范围，结合正弦函数的图象与性质，不难得出函数f（x）在[0，π]上的最大最小值．
点评：本题给出特殊的三角函数，在已知其一个零点和最大值点情况下求函数解析式，并求它在闭区间上的最值，着重考查了三角函数的图象与性质和由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题．