题目内容

已知圆C：（x+1）²+y²=8．
（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；
（2）如图，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 $数学公式$ ，求点N的轨迹的内接矩形的最大面积．

解：（1）∵点在圆C上，

∴可设 $\text{[math]}$ α∈[0，2π）；（2分）
$\text{[math]}$ ，（4分）
从而x+y∈[-5，3]．（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ．
∴NP为AM的垂直平分线，
∴|NA|=|NM|．（8分）
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．（10分）
且椭圆长轴长为 $\text{[math]}$ ，焦距2c=2．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴点N的轨迹是方程为 $\text{[math]}$ ．（12分）
所以N为椭圆，其内接矩形的最大面积为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）由已知中圆C：（x+1）²+y²=8，我们易求出圆的参数方程 $\text{[math]}$ α∈[0，2π），将问题转化为三角函数值域问题，利用辅助角公式，及正弦型函数的性质，易得到答案．
（2）由 $\text{[math]}$ ，易得NP为AM的垂直平分线，则 $\text{[math]}$ ．则动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为 $\text{[math]}$ ，焦距2c=2．由此可以得到N的轨迹方程，则连接其通径四个点的内接矩形的面积最大，由此即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是圆方程的综合应用，在求x+y的取值范围时，利用参数方程可以大大简化解题的难度．