Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n=

1

an2

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜2．

Answer 1

分析：（（1）根据题意，对a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2）进行变形可得

1

an

+(-1)n=2[(-1)n-

1

an-1

]=-2[(-1)n-1+

1

an-1

]从而证得结论；
（2）根据（1）求出数列a_n，从而求得b_n，利用分组求和法即可求得结果；
（3）首先确定出数列{c_n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．

解答：解：（1）由a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

得：

1

an

=

(-1)nan-1-2

an-1

=(-1)n-

2

an-1

∴

1

an

+(-1)n=2[(-1)n-

1

an-1

]=-2[(-1)n-1+

1

an-1

]
又∵a₁=

1

2

，∴

1

a1

+(-1)1=2-1=1
∴数列列{

1

an

+（-1）ⁿ}是首项为1，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）的结论有

1

an

+(-1)n=(-2)n-1，
即an=

(-1)n-1

1+2n-1

．
∴b_n=

1

an2

=（1+2^n-1）²=1+2ⁿ+4^n-1
∴S_n=（1+2+4⁰）+（1+2²+4¹）+…+（1+2ⁿ+4^n-1）
=（1+1+…+1）+（2+2²+…+2ⁿ）+（4⁰+4¹+…+4^n-1）
=n+

2(1-2n)

1-2

+

1-4n

1-4

=2n+

4n

3

+n-

7

3

（3）∵sin

(2n-1)π

2

=sin(nπ-

1

2

π)=

-1，n为偶数 1，n为奇数

=（-1）^n-1
由c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

=

(-1)n-1

1+2n-1

•sin(nπ-

1

2

π)=

1

1+2n-1

∴T_n=

1

1+20

+

1

1+2

+…+

1

1+2n-1

＜ 1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-2•(

1

2

)n＜2
∴对任意的n∈N^*，T_n＜2

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，求解数列的通项公式，分组求和及等比数列求和公式的应用．