Question

在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，角A的正弦，余弦值与

1

2

构成以为

1

2

等差中项的等差数列．
（1）试判断该三角形的形状并说明理由．
（2）如果边b，c是方程x²-mx+2=0的两根，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知，sinA+cosA=1，化为

2

sin（A+

π

4

）=1，结合A为三角形内角即特殊角的三角函数值得出A为直角．
（2）根据根与系数的关系，得出bc=2，根据勾股定理以及不等式的性质得出，a²=b²+c²≥2bc=4，得出a≥2．

解答：解：（1）∵角A的正弦，余弦值与

1

2

构成以为

1

2

等差中项的等差数列．
∴sinA+cosA=1
得出

2

sin（A+

π

4

）=1
∴A+

π

4

=2kπ+

π

4

或 2kπ+

3π

4

而A为三角形内角，故 A+

π

4

=

3π

4

，∴A=

π

2

所以该三角形为直角三角形．
（2）边b，c是方程x²-mx+2=0的两根，
根据根与系数的关系，得出bc=2
 根据勾股定理以及不等式的性质得出，a²=b²+c²≥2bc=4，
∴a≥2，此时b=c=

2

．

点评：本题主要考查了三角函数式的恒等变形，不等式的性质．考查转化、计算能力．