Question

已知函数f（x）=e^x-ax在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

分析：求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值，利用函数f（x）=e^x-ax在区间（0，1）上有极值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：f（x）的定义域为R，且 f′（x）=e^x-a．
①当a≤0时，f（x）=e^x，故f（x）在R上单调递增，从而f（x）没有极大值，也没有极小值．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x=lna．f（x）和f′（x）的情况如下：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

故f（x）的单调减区间为（-∞，lna）；单调增区间为（lna，+∞）．
从而f（x）的极小值为f（lna）=a-alna；没有极大值．
∵函数f（x）=e^x-ax在区间（0，1）上有极值，
∴0＜a-alna＜1，
∴a∈（1，e）．
故答案为：（1，e）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．