题目内容

定义在R上的单调函数满足，且对于任意的，

都有.

（1）求证：为奇函数；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

 

【答案】

(1)证明略

(2)

【解析】（1）证明：  （）   ①

令，代入①，得   .

令，代入①，得 ，又

则有，对任意的成立，

所以，是奇函数.

（2），即，又在R上是单调函数，

所以，在R上是增函数，又由（1）知是奇函数，于是

由  ，

得

 

令，即的最小值为，

要使对，不等式 恒成立，只要使.

 

练习册系列答案
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15、已知定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，则（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值为
1
．
已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（-3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）解关于x的不等式f(
2-xx
)＜2．
定义在R上的单调函数f（x）满足f(2)=
32
，且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证：f（x）为奇函数；
（Ⅱ）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通项公式an的表达式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，试比较Sn与
4
3
Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．
（2013•广州三模）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0使得对任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意的正整数n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
4
3
Sn与Tn的大小关系，并给出证明．

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