Question

如图，△ABC是等边三角形，PA⊥平面ABC，DC∥PA，且DC=AC=2PA=2，E是BD的中点．

（Ⅰ）求证：AE⊥BC；

（Ⅱ）求点D到平面PBC的距离．

　

Answer 1

（Ⅰ）证明：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥DC，

∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，则EF⊥BC；

由△ABC是等边三角形知，AF⊥BC，

∴BC⊥平面AEF，

∵AE平面AEF，∴AE⊥BC．   

（Ⅱ）取AC的中点H，连接BH，

∴BH⊥AC，又∵平面PACD⊥平面ABC，

∴BH⊥平面PACD，且BH＝；

又PA⊥平面ABC，PA∥DC，DC⊥平面ABC，则，PA⊥AC，     

由AB＝AC＝DC＝2PA＝2知，S_△PCD＝DC·AC＝2，

∴V_B-PCD＝S_△PCD·BE＝×2×＝

在Rt△PAF中，可求PF＝2，S_△PBC＝BC·PF＝2；          

设点D到平面PBC的距离为h，由V_D-PBC＝V_B-PCD得：

 S_△PBC·h＝，∴h＝，

即点D到平面PBC的距离为．