Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值．
（2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，则f（x）在区间[

1

3

，2]上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间[

1

3

，2]上恒大于0即可．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
∵f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx当a=0时，f（x）=2x-lnx，则f′(x)=2-

1

x

∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

∴当x=

1

2

时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．
（2）由已知，得f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，则f′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

若a=0，由f'（x）＞0得x＞

1

2

，显然不合题意
若a≠0∵函数f（x）区间[

1

3

，2]是增函数
∴f'（x）≥0对x∈[

1

3

，2]恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0对x∈[

1

3

，2]恒成立
即 a≥

1-2x

x2

=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1恒成立   故a≥[(

1

x

-1)2-1]max
而当x=

1

3

，函数(

1

x

-1)2-1的最大值为3，∴实数a的取值范围为a≥3．

点评：本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．