Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•b_n=2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-1⇒a₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1⇒a_n=2a_n-1，从而可知数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）易求b_n=

2n-1

an

=

2n-1

2n-1

，利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-1，
∴S₁=2a₁-1，
∴a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（2）∵a_n•b_n=2n-1，
∴b_n=

2n-1

an

=

2n-1

2n-1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①

1

2

T_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，②
①-②得：

1

2

T_n=1+1+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=1+

[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n-1

2n

=1+2-

3+2n

2n

，
∴T_n=6-

3+2n

2n-1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定及错位相减法求和，属于中档题．