Question

已知数列{a_n}是等比数列，其中a₃=1，a₄，a₅+1，a₆成等差数列，数列{

an

bn

}的前n项和S_n=（n-1）2^n-2+1（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，当n≥3时，求证：Tn-

1

4

＞

1

2

log2n．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公比为q，由a₃=1，知a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．由a₄，a₅+1，a₆成等差数列，能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）用数学归纳法证明如下：①当n=3时，左边=T3-

1

4

=(

1

4

+

1

2

+

1

3

)-

1

4

=

1

2

+

1

3

=

5

6

．右边=

1

2

log23．由2⁵＞3³，知不等式成立．②假设n=k（k≥3）时不等式成立．即

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

1

2

log2k．那么当n=k+1时，

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

1

2

log2k+

1

k+1

，要证n=k+1时不等式也成立，只需证：(

k+1

k

)k+1＜4，由此能证明当n=k+1时不等式也成立．综合①②可知：当n≥3时，Tn-

1

4

＞

1

2

log2n．

解答：解：（1）设{a_n}的公比为q，
∵a₃=1，
∴a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．
∵a₄，a₅+1，a₆成等差数列，
∴2（q²+1）=q+q³，
解得q=2．         （2分）
∴a_n=a₃q^n-3=2^n-3． （3分）
当n=1时，

a1

b1

=S1=1，
∴b1=a1=

1

4

．（4分）
当n≥2时，

an

bn

=Sn-Sn-1=n•2n-3，
∴bn=

1 4      n=1 1 n      n≥2

（6分）
（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=3时，左边=T3-

1

4

=(

1

4

+

1

2

+

1

3

)-

1

4

=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
右边=

1

2

log23
∵2⁵＞3³，
∴2

5

6

＞3

1

2

，
∴log22

5

6

＞log23

1

2

，
即

5

6

＞

1

2

log23，
∴左边＞右边，
∴不等式成立．（8分）
②假设n=k（k≥3）时不等式成立．
即

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

1

2

log2k，
则当n=k+1时，

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

1

2

log2k+

1

k+1

，
要证n=k+1时不等式也成立，
只需证

1

2

log2k+

1

k+1

＞

1

2

log2(k+1)
即证：(

k+1

k

)k+1＜4．（10分）
下面先证(1+

1

k

)k＜3 (k≥3)
∵(1+

1

k

)k=

C

0 k

+

C

1 k

1

k

+

C

2 k

(

1

k

)2+…+

C

r k

(

1

k

)r+…+

C

k k

(

1

k

)k

C

r k

1

kr

=

k(k-1)(k-2)…(k-r+1)

r!kr

≤

1

r!

，所以有：
(1+

1

k

)k≤1+1+

1

2!

+

1

3!

+…

1

k!

＜2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2k-1

=2+

1 2 [1-( 1 2 )k-1]

1- 1 2

=2+1-(

1

2

)k-1＜3
又k≥3，
∴(

k+1

k

)k+1=(1+

1

k

)k(1+

1

k

)＜3(1+

1

k

)≤3(1+

1

3

)=4
∴当n=k+1时不等式也成立．
综合①②可知：当n≥3时，Tn-

1

4

＞

1

2

log2n．（14分）．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的合理运用．