题目内容

已知f（x）=2 $数学公式$ sinx+ $数学公式$
（1）求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合．
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a= $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的最大值．

解：（1）f（x）=2 $\text{[math]}$ sinx+ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ sinx+2cosx=4sin（x+ $\text{[math]}$ ）
∴当x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）时，f（x）取得最大值为4
∴f（x）的最大值为4，取最大值时x的取值集合为{x|x=2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z}．
（2）对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），∴f（A）为f（x）为最大值
∴f（A）=4即sin（A+ $\text{[math]}$ ）=1
∴0＜A＜π，∴A= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =cbcosA= $\text{[math]}$
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a= $\text{[math]}$
∴3=b²+c²-bc≥bc（当b=c时取等号）
∴bc≤3
∴ $\text{[math]}$ 的最大值 $\text{[math]}$ ，此时b=c= $\text{[math]}$
分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，从而可求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合；
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）为f（x）为最大值，结合A的范围可求A，由 $\text{[math]}$ =cbcosA= $\text{[math]}$ ，结合余弦定理及基本不等式可求最值
点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦定理及向量的数量积的应用．