Question

已知函数f(x)=-x²+8x,g(x)=6lnx+m.

(Ⅰ)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t)；

(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)=-x²+8x=-(x-4)²+16,

    当t+1＜4,即t＜3时,f(x)在［t，t+1］上单调递增，h(t)=f(t+1)=-t²+6t+7;

    当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;

    当t＞4时，f(t)在［t,t+1］上单调递减，h(t)=f(t)=-t²+8t.

    综上h(t)=

(Ⅱ)函数y=f（x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ（x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.∵φ(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴φ′(x)=2x-8+=.(x＞0)

    当x∈(0,1)时,φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；

    当x∈（1，3）时，φ′（x)＜0,φ(x)是减函数；当x∈(3,+∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x=1或x=3时，φ′(x)=0.

∴φ（x）_最大=φ（1）=m-7.φ(x)₊=φ(3)=m+6ln3-15.

∵当x→0时  φ（x)＜0,x→+∞时  φ(x)＞0

∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须

即7＜m＜15-6ln3.

    所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点.m的取值范围为（7，15-6ln3）.