Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上运动，且PA=r（），记点P的轨迹的长度为f（r），则=________．（填上所有可能的值）．

Answer 1

分析：由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案．
解答：如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3×=；∴．此时，由一次函数的单调性可得：＜5．
②当1＜r≤时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则，，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2××=，cos∠EAG==，
∴f（r）=3r+3r；
③当时，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，
∴f（r）=3r．
综上可知：当0＜r≤1时，；当1＜r≤时，f（r）=3r+3r；当时，∴f（r）=3r．
根据以上解析式及图性和对称性可得f（r）的图象：
由图象不难看出：函数y=f（r）与y=k的交点个数分别为，0，2，3，4．
故答案为．关于r的方程f（r）=k的解的个数可能为0，2，3，4．
点评：熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．