题目内容
（2012•浙江模拟）若
=(x，y)，x，y∈{-2，-1，0，1，2}，
=(1，-1)，则
与
的夹角为锐角的概率是
．
| AB |
| a |
| AB |
| a |
| 8 |
| 25 |
| 8 |
| 25 |
分析：向量
与
的夹角为锐角的充要条件是：
•
＞0，同时
与
不平行．由此结合题中数据得到x＞y且x+y≠0，再计算出所有（x，y）的取法，和符合条件的（x，y）的取法，用随机事件的概率公式可算出所求的概率．
| AB |
| a |
| AB |
| a |
| AB |
| a |
解答：解：设
与
的夹角为θ，若
与
的夹角为锐角，即θ∈（0，
），
∵
•
=|
|•|
|cosθ
∴θ∈（0，
）时cosθ＞0，得
•
=|
|•|
|cosθ＞0
∵
=(x，y)，
=(1，-1)
∴
•
=x-y＞0，同时
与
不平行，得x+y≠0
由以上的讨论，得当x＞y且x+y≠0时，
•
＞0，夹角θ为锐角
∵x，y∈{-2，-1，0，1，2}
∴x，y的所有取法有5×5=25种，
其中x＞y且x+y≠0的取法有：（2，-1），（2，0），（2，1），（1，-2），
（1，0），（0，-2），（0，-1），（-1，-2），共8种情况
∴
与
的夹角为锐角的概率是P=
故答案为：
| AB |
| a |
| AB |
| a |
| π |
| 2 |
∵
| AB |
| a |
| AB |
| a |
∴θ∈（0，
| π |
| 2 |
| AB |
| a |
| AB |
| a |
∵
| AB |
| a |
∴
| AB |
| a |
| AB |
| a |
由以上的讨论，得当x＞y且x+y≠0时，
| AB |
| a |
∵x，y∈{-2，-1，0，1，2}
∴x，y的所有取法有5×5=25种，
其中x＞y且x+y≠0的取法有：（2，-1），（2，0），（2，1），（1，-2），
（1，0），（0，-2），（0，-1），（-1，-2），共8种情况
∴
| AB |
| a |
| 8 |
| 25 |
故答案为：
| 8 |
| 25 |
点评：本题以随机事件的概率的计算为载体，考查了向量数量积的计算公式和两向量夹锐角角的充要条件等知识，属于基础题．
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