Question

如图，已知抛物线P：y²=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，

OA

+

OB

=

OC

，OC与AB交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求四边形AOBC的面积的最小值．

Answer 1

分析：解法一：（1）设M(x，y)，A(

y

2 1

，y1)，B(

y

2 2

，y2)，由

OA

+

OB

=

OC

，OC与AB交于点M．可知：M是线段AB的中点．利用中点坐标公式可得：x=

y 2 1 + y 2 2

2

=

(y1+y2)2-2y1y2

2

，①y=

y1+y2

2

．②由OA⊥OB，利用数量积得

OA

•

OB

=0．得到

y

2 1

y

2 2

+y1y2=0．依题意知y₁y₂≠0，得到y₁y₂=-1．③
把②、③代入①即可得到轨迹方程；
（2）依题意得四边形AOBC是矩形，可得四边形AOBC的面积为S=|

OA

||

OB

|=

( y 2 1 )2+ y 2 1

•

( y 2 2 )2+ y 2 2

=

( y 2 1 +1)( y 2 2 +1)(y1y2)2

=

y 2 1 y 2 2 + y 2 1 + y 2 2 +1

=

2+ y 2 1 + y 2 2

．
再利用基本不等式的性质即可得出．
解法二：（1）依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，由于OA⊥OB，则直线OB的斜率为-

1

k

．故直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为y=-

1

k

x．把直线方程与抛物线方程联立即可得出点A，B的坐标，再利用

OA

+

OB

=

OC

，即可得到线段AB的中点M的坐标即可得出轨迹方程．
（2）依题意得四边形AOBC是矩形，可得四边形AOBC的面积为S=|

OA

||

OB

|=

( 1 k2 )2+( 1 k )2

•

(k2)2+(-k)2

=

2+k2+ 1 k2

，利用基本不等式即可得出．

解答：解法一：
（1）解：设M(x，y)，A(

y

2 1

，y1)，B(

y

2 2

，y2)，
∵

OA

+

OB

=

OC

，OC与AB交于点M．
∴M是线段AB的中点．
∴x=

y 2 1 + y 2 2

2

=

(y1+y2)2-2y1y2

2

，①y=

y1+y2

2

．②
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0．
∴

y

2 1

y

2 2

+y1y2=0．
依题意知y₁y₂≠0，
∴y₁y₂=-1．③
把②、③代入①得：x=

4y2+2

2

，即y2=

1

2

(x-1)．
∴点M的轨迹方程为y2=

1

2

(x-1)．
（2）解：依题意得四边形AOBC是矩形，
∴四边形AOBC的面积为S=|

OA

||

OB

|=

( y 2 1 )2+ y 2 1

•

( y 2 2 )2+ y 2 2

=

( y 2 1 +1)( y 2 2 +1)(y1y2)2

=

y 2 1 y 2 2 + y 2 1 + y 2 2 +1

=

2+ y 2 1 + y 2 2

．
∵

y

2 1

+

y

2 2

≥2|y1y2|=2，当且仅当|y₁|=|y₂|时，等号成立，
∴S≥

2+2

=2．
∴四边形AOBC的面积的最小值为2．
解法二：
（1）解：依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，
由于OA⊥OB，则直线OB的斜率为-

1

k

．
故直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为y=-

1

k

x．
由

y=kx y2=x

消去y，得k²x²-x=0．
解得x=0或x=

1

k2

．
∴点A的坐标为(

1

k2

，

1

k

)．
同理得点B的坐标为（k²，-k）．
∵

OA

+

OB

=

OC

，
∴M是线段AB的中点．
设点M的坐标为（x，y），则

x= 1 k2 +k2 2 y= 1 k -k 2

，消去k，得y2=

1

2

(x-1)．
∴点M的轨迹方程为y2=

1

2

(x-1)．
（2）解：依题意得四边形AOBC是矩形，
∴四边形AOBC的面积为S=|

OA

||

OB

|=

( 1 k2 )2+( 1 k )2

•

(k2)2+(-k)2

=

2+k2+ 1 k2

≥

2+2 k2• 1 k2

=2．
当且仅当k2=

1

k2

，即k²=1时，等号成立．
∴四边形AOBC的面积的最小值为2．

点评：本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式、向量的中点坐标公式及意义等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识．