Question

已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．则椭圆C的标准方程为

x2

25

+

y2

16

=1

．

Answer 1

分析：条件中给出一个直线系，需要先求出直线所过的定点，根据定点是椭圆的焦点，及椭圆C上的点到点F的最大距离为8，写出椭圆中三个字母系数要满足的条件，解方程组得到结果，写出椭圆的方程．

解答：解：由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
由

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

，解得F（3，0）．
设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

解得 a=5，b=4，c=3，
从而椭圆C的标准方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
故答案为：

x2

25

+

y2

16

=1

点评：本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，题目中首先求椭圆的方程，这是这类题目常用的一种形式，属于基础题．