题目内容

已知函数 $数学公式$ ，f（0）=1- $数学公式$ ，且 $数学公式$
（1）求a，b的值及f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x $数学公式$ 上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）由f（x）的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数y=g（x）的图象？若能，请写出你的变换过程；否则说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ =a $\text{[math]}$ +bcos2x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +bcos2x．
由f（0）=1- $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，∴a=2，b=- $\text{[math]}$ ．
∴f（x）=1+sin2x- $\text{[math]}$ cos2x=1+2sin（2x- $\text{[math]}$ ），故它的最大值为3，最小值等于-1．
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x $\text{[math]}$ 上恒成立，即m-3＜2sin（2x- $\text{[math]}$ ）＜1+m．
由于 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤2sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤2．
∴1+m＞2，m-3＜ $\text{[math]}$ ，解得1＜m＜ $\text{[math]}$ ，
故实数m的取值范围（1， $\text{[math]}$ ）．
（3）由f（x）=1+2sin（2x- $\text{[math]}$ ）可得，
把f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得到y=1+2sin2x的图象，
再向下平移1个单位可得y=2sin2x的图象，而y=2sin2x就是奇函数，
故由f（x）的图象可以经过平移变换得到一个奇函数y=g（x）的图象．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，由条件求出a、b的值，进一步化简f（x）=1+2sin（2x- $\text{[math]}$ ），从而求出函数的最大值和最小值．
（2）由条件可得x $\text{[math]}$ 上时，m-3＜2sin（2x- $\text{[math]}$ ）＜1+m恒成立，故有 $\text{[math]}$ ≤2sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤2．由 1+m＞2，m-3＜ $\text{[math]}$ ，求出实数m的取值范围．
（3）由f（x）=1+2sin（2x- $\text{[math]}$ ）可得，把f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得到y=1+2sin2x的图象，再向下平移1个单位可得y=2sin2x的图象，而y=2sin2x就是奇函数，从而得到结论．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，以及函数的奇偶性，属于中档题．