题目内容

如图，已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4+2，
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且，求λ+μ的取值范围。
解：(Ⅰ)由题意得，
所以椭圆的方程为；
(Ⅱ)又A(-2，0)，B(0，1)，所以，
由CD∥AB，可设直线CD的方程为，
由已知得M(-2m，0)，N(0，m)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由得x2+2mx+2m2-2=0，
Δ=(2m)2-4(2m2-2)＞0m2＜2，
所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，
由得(x1+2m，y1)=λ(-x1，m-y1)，
所以x1+2m=-λx1即，
同理由，
所以，
由，
所以λ+μ∈(-∞，-2]∪(2，+∞)。
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为
1
3
，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．
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（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；
（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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如图，已知椭圆E：
x2
8
+
y2
4
=1焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，求k1•k2的值；
（2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4+2
3
．
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（I）求椭圆的方程；
（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且
MC
=λ
CN
，
MD
=μ
DN
，求λ+μ的取值范围．
（2013•宁波二模）如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的离心率是
2
2
，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足
1
|P1Q|
+
1
|P2Q|
=
2
|FQ|
=2．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

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