Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，AB=2，BC=3，P是BC上的一个动点，当取最小值时，tan∠DPA的值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由余弦定理可得 1=AP²+DP²-2，即 =，利用基本不等式可得当最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，tan ==，利用倍角的正切公式求得tan∠APD 的值．
解答：∵=PD•PA cos∠APD，
△PDA中，由余弦定理可得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2，
∴=≥，当且仅当AP=DP 时，等号成立．
故当最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，tan ==，
∴tan∠APD===，
故选 D．
点评：本题考查余弦定理，基本不等式，二倍角的正切公式的应用，求出tan 的值，是解题的关键，属于中档题．