Question

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB₁＝3a，D是A₁C₁的中点，E是B₁C的中点．

(1)求cos(，)．

(2)在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF？若存在，求出||；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz． 　　因为AC＝2a，∠ABC＝，所以AB＝BC＝a． 　　所以B(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，a，0)， 　　所以B1(0，0，3a)，A1(a，0，3a)，C1(0，a，3a)， 　　所以D(a，a，3a)，E(0，a，a)． 　　所以＝(a，－a，3a)，＝(0，a，a)， 　　故||＝a，||＝a． 　　又·＝0－a2＋a2＝a2， 　　所以cos(，)＝＝． 　　(2)假设存在点F，使CF⊥面B1DF，不妨设AF＝b，则F(a，0，b)． 　　所以＝(a，－a，b)，＝(a，0，b－3a)，＝(a，a，0)． 　　因为·＝a2－a2＋0＝0， 　　所以⊥恒成立． 　　由·＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a． 　　所以，当||＝a或||＝2a时，CF⊥平面B1DF．