Question

函数f（x）=3sinπx-log 

1

2

x的零点的个数是

9

．

Answer 1

分析：根据题意，函数f（x）零点的个数等于y=3sinπx和y=log

1

2

x图象交点的个数．因此在同一坐标系内作出函数y=3sinπx和y=log

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2

x的图象，分析函数y=3sinπx的周期性和最值，以及函数y=log

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2

x的单调性与值域，可得两个函数图象交点的个数，从而得到答案．

解答：解：由f（x）=3sinπx-log

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2

x=0，得3sinπx=log

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2

x．
记函数y=3sinπx和y=log

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2

x，两个函数图象交点的个数等于函数f（x）零点的个数．
同一坐标系内作出函数y=3sinπx和y=log

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2

x的图象，如图所示．

∵函数y=3sinπx的周期T=

2π

π

=2，函数的最小值为-3；
函数y=log

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2

x为（0，+∞）上的单调减函数，
当x∈（0，8]时，y≥-3，而x∈（8，+∞）时，y＜-3，
∴函数y=3sinπx在区间（0，8]上出现4个周期，得y=3sinπx的图象和y=log

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2

x的图象交点有9个，
而在区间（8，+∞）上，由于y=log

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2

x小于y=3sinπx的最小值，两图象没有公共点．
综上所述，函数y=3sinπx和y=log

1

2

x的图象共有9个交点，即函数f（x）=3sinπx-log

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x有9个零点．
故答案为：9

点评：本题求函数f（x）=3sinπx-log

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x的零点的个数，着重考查了三角函数的周期性、对数函数的单调性、函数的值域与函数图象的作法等知识，属于中档题．